以下把複數平面中的端點視為向量，並用叉積判斷共線、點積判斷是否位於線段範圍內。

令

$$\zeta=\zeta_{10}=e^{i\pi/5}=e^{i36^\circ},\qquad \phi=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

則

$$\zeta^5=-1,\qquad \phi=\zeta+\zeta^{-1}=\zeta-\zeta^4,\qquad \phi^2=\phi+1.$$

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一、用五軸整數座標記錄折線

取五個無向軸

$$1,\ \zeta,\ \zeta^2,\ \zeta^3,\ \zeta^4.$$

折線上的位移可以記為

$$W=c_0+c_1\zeta+c_2\zeta^2+c_3\zeta^3+c_4\zeta^4, \qquad c_j\in\mathbb Z.$$

對應的五軸整數記錄為

$$[c_0,c_1,c_2,c_3,c_4].$$

要注意：這五個座標並不是線性獨立的。因為 $\zeta$ 的最小多項式是

$$1-\zeta+\zeta^2-\zeta^3+\zeta^4=0,$$

所以

$$[c_0,c_1,c_2,c_3,c_4]$$

和

$$[c_0+k,c_1-k,c_2+k,c_3-k,c_4+k]$$

表示同一個平面向量。因此這裡的「五軸座標」比較準確地說是一種方便筆算的整數記錄，而不是唯一座標。

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二、每一條線段如何轉成五軸整數記錄

假設一條線段方向是 $\zeta^n$，也就是方向角為 $36^\circ n$。

利用

$$\phi\zeta^n=\zeta^{n-1}+\zeta^{n+1},$$

以及

$$\phi^2=\phi+1,$$

五種允許的長度可以寫成：

[ \begin{array}{c|c} \text{長度} & \text{向量}\ \hline 1 & \zeta^n\ 2 & 2\zeta^n\ \phi & \zeta^{n-1}+\zeta^{n+1}\ 2\phi & 2\zeta^{n-1}+2\zeta^{n+1}\ \phi^2 & \zeta^{n-1}+\zeta^n+\zeta^{n+1} \end{array} ]

最後把所有冪次化到 $0,1,2,3,4$。由

$$\zeta^{r+5}=-\zeta^r$$

可知，只要指數跨過 $5$，就把指數減去 $5$ 並變號。例如

$$\zeta^5=-1,\qquad \zeta^6=-\zeta,\qquad \zeta^{-1}=\zeta^9=-\zeta^4.$$

逐段相加，就得到整條折線各端點的五軸整數記錄。

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三、用叉積和點積判斷 $H$ 是否在線段 $AB$ 上

令

$$U=B-A,\qquad V=H-A.$$

因為三個例子中 $A=0$，所以直接有

$$U=B,\qquad V=H.$$

在複數平面中，若

$$U=x_U+iy_U,\qquad V=x_V+iy_V,$$

定義：

點積

$$U\mathbin{\cdot}V=x_Ux_V+y_Uy_V =\operatorname{Re}(\overline U V).$$

叉積

$$U\times V=x_Uy_V-y_Ux_V =\operatorname{Im}(\overline U V).$$

因此 $H$ 在線段 $AB$ 上的充要條件是

$$U\times V=0$$

且

$$0\leq U\mathbin{\cdot}V\leq U\mathbin{\cdot}U.$$

其意義是：

1. $U\times V=0$：$A,B,H$ 三點共線；
2. $U\cdot V\geq0$：$H$ 不在 $A$ 的反方向；
3. $U\cdot V\leq U\cdot U$：$H$ 沒有越過 $B$。

也可以寫成投影參數

$$t=\frac{U\cdot V}{U\cdot U}.$$

在已知共線的情況下：

• $0\leq t\leq1$：$H$ 在線段 $AB$ 上；
• $t<0$：$H$ 在 $A$ 的外側；
• $t>1$：$H$ 在 $B$ 的外側。

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四、五軸記錄如何直接計算點積與叉積

若

$$U=\sum_{i=0}^4a_i\zeta^i,\qquad V=\sum_{j=0}^4b_j\zeta^j,$$

則兩根單位方向向量之間有

$$\zeta^i\cdot\zeta^j =\cos\bigl((j-i)36^\circ\bigr),$$

以及

$$\zeta^i\times\zeta^j =\sin\bigl((j-i)36^\circ\bigr).$$

因此

$$U\cdot V = \sum_{i=0}^4\sum_{j=0}^4 a_i b_j\cos\bigl((j-i)36^\circ\bigr),$$ $$U\times V = \sum_{i=0}^4\sum_{j=0}^4 a_i b_j\sin\bigl((j-i)36^\circ\bigr).$$

筆算時需要的值只有：

$$\cos36^\circ=\frac{\phi}{2}, \qquad \cos72^\circ=\frac{\phi-1}{2},$$ $$\cos108^\circ=-\frac{\phi-1}{2}, \qquad \cos144^\circ=-\frac{\phi}{2}.$$

令

$$s=\sin36^\circ,$$

則

$$\sin72^\circ=\phi s, \qquad \sin108^\circ=\phi s, \qquad \sin144^\circ=s.$$

並且負角度變號：

$$\sin(-\theta)=-\sin\theta.$$

必須注意：五條軸不是互相垂直的，所以不能把點積錯算成

$$\sum_{j=0}^4 a_jb_j.$$

必須把不同軸之間的夾角也計入。

下面對三個例子逐一筆算。

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五、例一

已知

$$A=0,$$ $$B=1+\zeta-\zeta^4,$$ $$H=-2+\zeta-\zeta^4.$$

五軸整數記錄分別為

$$B=[1,1,0,0,-1],$$ $$H=[-2,1,0,0,-1].$$

1. 先化簡共同部分

因為

$$\zeta-\zeta^4=\phi,$$

所以

$$B=1+\phi=\phi^2,$$

以及

$$H=-2+\phi=\phi-2.$$

兩者都是實數，因此都位於實軸上。

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2. 叉積

因為 $B,H$ 都是實數，

$$B\times H = \operatorname{Im}(\overline B H)=0.$$

所以 $A,B,H$ 三點共線。

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3. 點積

由於 $B$ 和 $H$ 都是實數，

$$B\cdot H=BH.$$

因此

$$B\cdot H = \phi^2(\phi-2).$$

利用

$$\phi^2=\phi+1,$$

得到

$$\begin{aligned} B\cdot H &=(\phi+1)(\phi-2)\\ &=\phi^2-\phi-2\\ &=(\phi+1)-\phi-2\\ &=-1. \end{aligned}$$

所以

$$B\cdot H=-1<0.$$

雖然三點共線，但是 $H$ 位於 $A$ 的反方向。

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4. 結論

$$\boxed{H\notin\overline{AB}}$$

幾何次序是

$$H\;-\;A\;-\;B.$$

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六、例二

已知

$$A=0,$$ $$B=2\zeta-2\zeta^4,$$ $$H=-3+2\zeta-2\zeta^4.$$

五軸整數記錄為

$$B=[0,2,0,0,-2],$$ $$H=[-3,2,0,0,-2].$$

1. 化簡

由

$$\zeta-\zeta^4=\phi$$

可得

$$B=2\phi,$$

以及

$$H=-3+2\phi=2\phi-3.$$

兩者仍然都是實數。

因為

$$\phi\approx1.618,$$

所以

$$B\approx3.236, \qquad H\approx0.236.$$

從數值上已可看出 $H$ 位於 $0$ 和 $B$ 之間。下面用精確點積判定。

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2. 叉積

因為 $B,H$ 都是實數，

$$B\times H=0.$$

所以三點共線。

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3. 點積

$$\begin{aligned} B\cdot H &=(2\phi)(2\phi-3)\\ &=4\phi^2-6\phi\\ &=4(\phi+1)-6\phi\\ &=4-2\phi. \end{aligned}$$

因為 $\phi<2$，所以

$$4-2\phi>0.$$

另一方面，

$$B\cdot B=(2\phi)^2=4\phi^2=4\phi+4.$$

顯然

$$4-2\phi<4\phi+4.$$

所以

$$0<B\cdot H<B\cdot B.$$

兩個線段範圍條件都成立。

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4. 也可以計算參數 $t$

$$t=\frac{B\cdot H}{B\cdot B}.$$

由於 $B,H$ 共線且同方向，也可以直接寫成

$$t=\frac{H}{B} =\frac{2\phi-3}{2\phi}.$$

利用

$$\frac1\phi=\phi-1,$$

可得

$$\begin{aligned} t &=\frac{(2\phi-3)(\phi-1)}2\\ &=\frac{2\phi^2-5\phi+3}{2}\\ &=\frac{2(\phi+1)-5\phi+3}{2}\\ &=\frac{5-3\phi}{2}. \end{aligned}$$

數值約為

$$t\approx0.07295.$$

所以

$$0<t<1.$$

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5. 結論

$$\boxed{H\in\overline{AB}}$$

而且 $H$ 位於從 $A$ 到 $B$ 約 $7.3\%$ 的位置。

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七、例三

已知

$$A=0,$$ $$B=1+\zeta-\zeta^4,$$ $$H=-2+3\zeta-2\zeta^2+\zeta^3-\zeta^4.$$

五軸記錄為

$$B=[1,1,0,0,-1],$$ $$H=[-2,3,-2,1,-1].$$

與例一相同，

$$B=1+\zeta-\zeta^4=1+\phi=\phi^2.$$

所以 $B$ 是正實數。此時判斷 $H$ 是否與 $B$ 共線，只需要檢查 $H$ 的虛部是否為零。

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1. 計算 $H$ 的實部

利用

$$\cos36^\circ=\frac{\phi}{2},$$ $$\cos72^\circ=\frac{\phi-1}{2},$$ $$\cos108^\circ=-\cos72^\circ,$$ $$\cos144^\circ=-\cos36^\circ,$$

得到

$$\begin{aligned} \operatorname{Re}(H) ={}&-2 +3\cos36^\circ -2\cos72^\circ\\ &+\cos108^\circ -\cos144^\circ. \end{aligned}$$

代入對稱關係：

$$\begin{aligned} \operatorname{Re}(H) &=-2 +3\cos36^\circ -2\cos72^\circ\\ &\quad-\cos72^\circ +\cos36^\circ\\ &=-2+4\cos36^\circ-3\cos72^\circ. \end{aligned}$$

再代入 $\phi$：

$$\begin{aligned} \operatorname{Re}(H) &=-2+4\left(\frac{\phi}{2}\right) -3\left(\frac{\phi-1}{2}\right)\\ &=-2+2\phi-\frac{3\phi-3}{2}\\ &=\frac{-4+4\phi-3\phi+3}{2}\\ &=\frac{\phi-1}{2}. \end{aligned}$$

所以

$$\operatorname{Re}(H)=\frac{\phi-1}{2}.$$

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2. 計算 $H$ 的虛部

$$\begin{aligned} \operatorname{Im}(H) ={}&3\sin36^\circ -2\sin72^\circ\\ &+\sin108^\circ -\sin144^\circ. \end{aligned}$$

利用

$$\sin108^\circ=\sin72^\circ, \qquad \sin144^\circ=\sin36^\circ,$$

可得

$$\begin{aligned} \operatorname{Im}(H) &=3\sin36^\circ -2\sin72^\circ\\ &\quad+\sin72^\circ -\sin36^\circ\\ &=2\sin36^\circ-\sin72^\circ. \end{aligned}$$

又因為

$$\sin72^\circ = 2\sin36^\circ\cos36^\circ = \phi\sin36^\circ,$$

所以

$$\operatorname{Im}(H) = (2-\phi)\sin36^\circ.$$

由於

$$2-\phi>0,\qquad \sin36^\circ>0,$$

因此

$$\operatorname{Im}(H)\neq0.$$

這已經說明 $H$ 不在實軸上，所以 $A,B,H$ 不共線。

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3. 直接計算叉積

因為

$$B=\phi^2$$

是正實數，所以

$$B\times H = B\,\operatorname{Im}(H).$$

因此

$$B\times H = \phi^2(2-\phi)\sin36^\circ.$$

化簡前面的係數：

$$\begin{aligned} \phi^2(2-\phi) &=(\phi+1)(2-\phi)\\ &=2\phi+2-\phi^2-\phi\\ &=\phi+2-(\phi+1)\\ &=1. \end{aligned}$$

故

$$\boxed{B\times H=\sin36^\circ}.$$

因為

$$\sin36^\circ\neq0,$$

所以

$$B\times H\neq0.$$

三點不共線。

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4. 點積

雖然叉積已經足以判定 $H$ 不在線段上，仍可計算點積：

$$B\cdot H = B\,\operatorname{Re}(H).$$

所以

$$B\cdot H = \phi^2\frac{\phi-1}{2}.$$

利用

$$\phi^2(\phi-1) = (\phi+1)(\phi-1) = \phi^2-1 = \phi,$$

得到

$$\boxed{B\cdot H=\frac{\phi}{2}}.$$

點積是正的，只表示 $H$ 在 $AB$ 方向上的投影落在正方向；但因為叉積不為零，$H$ 並不位於直線 $AB$ 上。

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5. 結論

$$\boxed{H\notin\overline{AB}}$$

原因是

$$\boxed{B\times H=\sin36^\circ\neq0}.$$

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八、三個例子的總結

令 $U=B-A$、$V=H-A$，則結果為：

例子	$U\times V$	$U\cdot V$	判定
例一	$0$	$-1$	共線，但 $H$ 在 $A$ 的反方向，不在線段上
例二	$0$	$4-2\phi$	$0<U\cdot V<U\cdot U$，在線段上
例三	$\sin36^\circ$	$\phi/2$	不共線，不在線段上

因此：

$$\boxed{\text{例一：不在線段上}}$$ $$\boxed{\text{例二：在線段上}}$$ $$\boxed{\text{例三：不在線段上}}$$

整個筆算判定程序可以固定寫成：

1. 計算 $U=B-A$、$V=H-A$；
2. 用 $\zeta-\zeta^4=\phi$ 等關係先化簡；
3. 計算 $$U\times V=\operatorname{Im}(\overline U V);$$
4. 若叉積不為零，立即判定不在線段上；
5. 若叉積為零，再計算 $$U\cdot V=\operatorname{Re}(\overline U V);$$
6. 檢查 $$0\leq U\cdot V\leq U\cdot U.$$