🔲 洛書切割正方形謎題

以下採用洛書的標準排列

$$\begin{matrix} 4&9&2\\ 3&5&7\\ 8&1&6 \end{matrix}$$

並假設兩條「橫向」直線均貫穿正方形左右邊，兩條「縱向」直線均貫穿上下邊，同組直線不在正方形內相交。

1. 最小的 $m$

令正方形邊長先正規化為 $1$。因洛書每一行、每一列的和都是 $15$，加上 $m$ 後，每行、每列的和都是 $15+3m$，所以兩組切線都必須把正方形三等分面積。

可將四條線寫成

$$\begin{aligned} H_1&:y=\frac13+u(2x-1),\\ H_2&:y=\frac23+v(2x-1),\\ V_1&:x=\frac13+s(2y-1),\\ V_2&:x=\frac23+t(2y-1). \end{aligned}$$

令

$$\lambda=\frac1{m+5}.$$

四個左上累積面積條件分別為

$$\frac{1-\lambda}{9},\quad \frac{2+3\lambda}{9},\quad \frac{2-3\lambda}{9},\quad \frac{4+\lambda}{9}.$$

若一條橫線為 $y=\alpha+u(2x-1)$，縱線為 $x=\beta+s(2y-1)$，它們左上方交集的面積為

$$F_{\alpha,\beta}(u,s) = \frac{(\alpha-u)(\beta-s)+u(\beta-s)^2+s(\alpha-u)^2} {1-4us}.$$

代入上述四個面積條件，並加入同組切線不能在正方形內相交的條件，消元後最大可行的 $\lambda$ 出現在

$$t-s=-\frac13,$$

即兩條縱向切線恰好在正方形下邊界相遇。相應的代數方程組為

$$\begin{aligned} 9us(u+s)+(1-4\lambda)us-2u-2s+\lambda&=0,\\ -9u^2+(-24+48\lambda)us+(4-12\lambda)u+2-12\lambda&=0,\\ 9vs(v+s)+(-1-12\lambda)vs-2v-2s+3\lambda&=0,\\ -9v^2+(-12+48\lambda)vs+(2-4\lambda)v+2-12\lambda&=0. \end{aligned}$$

在可行區間內的唯一解約為

$$\lambda_0\approx0.167110127,$$

因此

$$\boxed{ m_{\min}=\frac1{\lambda_0}-5 \approx0.984077786 }$$

在最小值時，兩條縱向切線共用一個下邊界端點；它們沒有在正方形內部相交，仍然切出九塊。如果規定四條切線連邊界端點也不能重合，則此值是下確界而不是可取到的最小值。

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2. $m=1$、邊長 $384$ 的切割

此時九塊面積比例為

$$\begin{matrix} 5&10&3\\ 4&6&8\\ 9&2&7 \end{matrix},$$

總和為 $54$。

一組數值解為

$$u\approx-0.12862964,\qquad v\approx0.04684015,$$ $$s\approx0.19950173,\qquad t\approx-0.13294990.$$

換算到 $384\times384$ 正方形，四條切線端點約為：

• $H_1:(0,177.393782)\to(384,78.606218)$
• $H_2:(0,238.013382)\to(384,273.986618)$
• $V_1:(51.391336,0)\to(204.608664,384)$
• $V_2:(307.052762,0)\to(204.947238,384)$

以下 SVG 已標出九塊的面積比例：

SVG

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正在渲染 SVG…

上述 SVG 使用小數近似座標；面積比例的誤差約在數值捨入範圍內。