可以。關鍵是：五個 SAT 軸要取允許線段方向的法軸，而不是線段方向本身。

令

$$\zeta=\zeta_{10}=e^{\pi i/5},\qquad \phi=\zeta+\zeta^{-1}=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

先平移、旋轉座標，使 $A=0$，而所有線段方向均為 $\zeta^k$。每條位移可寫成

$$v_r=\ell_r\zeta^{k_r}, \qquad \ell_r\in\{1,2,\phi,2\phi,\phi^2\}, \quad k_r\in\mathbb Z/10\mathbb Z.$$

因為 $\ell_r\in\mathbb Z[\phi]\subset\mathbb Z[\zeta]$，所以所有端點都在 $\mathbb Z[\zeta]$。

1. 五軸投影

五條 SAT 法軸取為

$$n_j=i\zeta^j,\qquad j=0,1,2,3,4.$$

定義正規化投影

$$Q_j(z) = \frac{\langle z,n_j\rangle}{\sin(\pi/5)} = \frac{\operatorname{Im}(z\zeta^{-j})}{\sin(\pi/5)}.$$

若 $z\in\mathbb Z[\zeta]$，則 $Q_j(z)\in\mathbb Z[\phi]$，所以可以完全用整數與 $\phi$ 筆算。

令

$$F_m=\frac{\sin(m\pi/5)}{\sin(\pi/5)}.$$

其週期為 $10$，查表如下：

$m\bmod 10$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$F_m$	$0$	$1$	$\phi$	$\phi$	$1$	$0$	$-1$	$-\phi$	$-\phi$	$-1$

因此對任一線段位移，

$$Q_j(\ell\zeta^k)=\ell F_{k-j}.$$

所以若

$$X-A=\sum_r\ell_r\zeta^{k_r},$$

直接筆算

$$Q_j(X-A)=\sum_r\ell_rF_{k_r-j}, \qquad j=0,\ldots,4$$

即可，不必計算三角函數。

---

2. 五軸 SAT 的總公式

令

$$Y=X-A,\qquad D=B-A,$$

並記

$$y_j=Q_j(Y),\qquad d_j=Q_j(D).$$

在第 $j$ 條軸上，$X$ 的投影落在 $A,B$ 的投影之間，等價於

$$\min(0,d_j)\le y_j\le\max(0,d_j),$$

也就是

$$y_j(y_j-d_j)\le0.$$

因此五軸 SAT 可以總結成一個公式：

$$\boxed{ X\in\overline{AB} \iff \max_{0\le j\le4} \left\{ Q_j(X-A)\,Q_j(X-B) \right\} \le0 }$$

其中

$$Q_j(z)= \frac{\operatorname{Im}(z\zeta^{-j})}{\sin(\pi/5)}.$$

等價地，

$$\boxed{ X\in\overline{AB} \iff \max_{0\le j\le4} \left\{ y_j(y_j-d_j) \right\} \le0. }$$

所有不等式都是在 $\phi=(1+\sqrt5)/2$ 的實嵌入下比較。

---

3. 為甚麼五軸判準是充分的

設

$$D=B-A=L\zeta^k,\qquad L>0.$$

第 $k\bmod5$ 條軸恰好垂直於 $AB$，所以

$$d_k=Q_k(D)=0.$$

該軸的不等式變成

$$y_k^2\le0,$$

故必有 $y_k=0$，也就是 $X-A$ 與 $B-A$ 共線。

於是可寫成

$$X-A=t(B-A).$$

對任何 $d_j\ne0$ 的其他軸，

$$y_j(y_j-d_j) = (td_j)(td_j-d_j) = d_j^2t(t-1).$$

因此

$$d_j^2t(t-1)\le0 \iff 0\le t\le1.$$

所以五軸條件同時保證：

1. $X$ 在直線 $AB$ 上；
2. $X$ 位於 $A,B$ 之間。

---

4. 把 $AB$ 規格化成實軸時的顯式公式

若取

$$A=0,\qquad B=L>0,$$

則

$$(d_0,d_1,d_2,d_3,d_4) = (0,-L,-L\phi,-L\phi,-L).$$

令 $x_j=Q_j(X)$，則判準化為

$$\boxed{ \max\left\{ x_0^2,\; x_1(x_1+L),\; x_2(x_2+L\phi),\; x_3(x_3+L\phi),\; x_4(x_4+L) \right\} \le0. }$$

這就是 $AB$ 已對齊實軸時最方便的筆算公式。

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5. 用五軸整數係數直接計算

利用

$$\phi\zeta^k=\zeta^{k-1}+\zeta^{k+1},$$

以及

$$\phi^2\zeta^k = \zeta^{k-1}+\zeta^k+\zeta^{k+1},$$

可把端點寫成

$$z=\sum_{r=0}^4c_r\zeta^r,\qquad c_r\in\mathbb Z,$$

其中用 $\zeta^{r+5}=-\zeta^r$ 約化指數。此時

$$\begin{pmatrix} Q_0(z)\\ Q_1(z)\\ Q_2(z)\\ Q_3(z)\\ Q_4(z) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1&\phi&\phi&1\\ -1&0&1&\phi&\phi\\ -\phi&-1&0&1&\phi\\ -\phi&-\phi&-1&0&1\\ -1&-\phi&-\phi&-1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_0\\c_1\\c_2\\c_3\\c_4 \end{pmatrix}.$$

最後各項都形如 $a+b\phi$。乘法只需使用

$$(a+b\phi)(c+d\phi) = (ac+bd)+(ad+bc+bd)\phi,$$

因為 $\phi^2=\phi+1$。要精確判定 $a+b\phi\le0$，可改寫為

$$2(a+b\phi)=(2a+b)+b\sqrt5,$$

當兩項異號時，以整數平方比較 $(2a+b)^2$ 與 $5b^2$，不需要小數近似。

設

$$\mathbf p=B-A,\qquad \mathbf q=X-A.$$

假設 $A\ne B$，則用二維叉乘與點乘可精確判定：

$$\boxed{ X\in\overline{AB} \iff \begin{cases} \mathbf p\times\mathbf q=0,\\[2mm] (X-A)\cdot(X-B)\le 0. \end{cases}}$$

其中：

• $\mathbf p\times\mathbf q=0$：表示 $A,B,X$ 共線；
• $(X-A)\cdot(X-B)\le0$：表示 $X$ 位於 $A,B$ 之間，包含端點。

座標形式

若

$$A=(a_x,a_y),\quad B=(b_x,b_y),\quad X=(x,y),$$

則先算

$$C=(b_x-a_x)(y-a_y)-(b_y-a_y)(x-a_x),$$

以及

$$D=(x-a_x)(x-b_x)+(y-a_y)(y-b_y).$$

判準就是

$$\boxed{X\in\overline{AB}\iff C=0\ \text{且}\ D\le0.}$$

若要合併成單一 SAT 型公式，可寫成

$$\boxed{ X\in\overline{AB} \iff \max\left\{ C^2,\; |B-A|^2D \right\}\le0. }$$

因為 $C^2\ge0$ 且 $|B-A|^2>0$，上式會同時強迫 $C=0$ 和 $D\le0$。

複數／$\mathbb Z[\zeta_{10}]$ 形式

將端點視為複數，令

$$p=B-A,\qquad q=X-A.$$

叉乘和點乘分別為

$$C=\operatorname{Im}(\overline p\,q),$$ $$D=\operatorname{Re}\!\left(\overline{(X-A)}(X-B)\right) =\operatorname{Re}\!\left(\overline q(q-p)\right).$$

所以最終公式為

$$\boxed{ X\in\overline{AB} \iff \operatorname{Im}\!\left(\overline{(B-A)}(X-A)\right)=0 \quad\text{且}\quad \operatorname{Re}\!\left(\overline{(X-A)}(X-B)\right)\le0. }$$

也可以合併為

$$\boxed{ \max\left\{ \operatorname{Im}\!\left(\overline{(B-A)}(X-A)\right)^2,\; |B-A|^2 \operatorname{Re}\!\left(\overline{(X-A)}(X-B)\right) \right\}\le0. }$$

在 $\mathbb Z[\zeta_{10}]$ 中，共軛只需使用

$$\overline{\zeta_{10}}=\zeta_{10}^{-1},$$

因此整個判定都能精確筆算，不需要浮點近似。若 $A=B$，則退化線段的判準單獨改為 $X=A$。

若要不包含端點，將點乘條件由 $\le 0$ 改為嚴格小於 $0$：

$$\boxed{ X\in\operatorname{relint}(\overline{AB}) \iff \begin{cases} (B-A)\times(X-A)=0,\\[1mm] (X-A)\cdot(X-B)<0. \end{cases}}$$

其中假設 $A\ne B$。

• 叉乘等於 $0$：表示 $A,B,X$ 共線；
• 點乘小於 $0$：表示 $X$ 嚴格位於 $A$ 與 $B$ 之間；
• 當 $X=A$ 或 $X=B$ 時，點乘等於 $0$，所以會被排除。

寫成座標形式，若

$$A=(a_x,a_y),\quad B=(b_x,b_y),\quad X=(x,y),$$

則

$$\boxed{ \begin{aligned} &(b_x-a_x)(y-a_y)-(b_y-a_y)(x-a_x)=0,\\ &(x-a_x)(x-b_x)+(y-a_y)(y-b_y)<0. \end{aligned}}$$

複數形式為

$$\boxed{ \operatorname{Im}\!\left(\overline{(B-A)}(X-A)\right)=0, \qquad \operatorname{Re}\!\left(\overline{(X-A)}(X-B)\right)<0. }$$

也可合成一個公式：

$$\boxed{ \bigl((B-A)\times(X-A)\bigr)^2 - \min\!\left(0,-(X-A)\cdot(X-B)\right)^2=0 }$$

但實際筆算時，直接檢查「叉乘 $=0$ 且點乘 $<0$」最簡單，也最不容易出錯。

以下沿用前面的要求：判斷 $H$ 是否落在不包含端點的開線段 $AB$ 上。

對 $A\ne B$，判準是

$$\boxed{ H\in\mathring{\overline{AB}} \iff \begin{cases} (B-A)\times(H-A)=0,\\[1mm] (H-A)\cdot(H-B)<0. \end{cases}}$$

1. 決定每條線段的方向

令 $AB$ 水平向右，方向角為 $0^\circ$。頂點角 $\angle ABC$ 是由射線 $BA$ 轉向 $BC$；假設題目的角度都沿逆時針方向量。若全部改成順時針，圖形只是上下鏡射，最後結論相同。

各線段的方向為：

線段	長度	方向角
$AB$	$L$	$0^\circ$
$BC$	$1$	$180^\circ+144^\circ=324^\circ$
$CD$	$\phi$	$144^\circ+144^\circ=288^\circ$
$DE$	$1$	$108^\circ+72^\circ=180^\circ$
$EF$	$2$	$0^\circ+180^\circ=180^\circ$
$FG$	$\phi$	$0^\circ+108^\circ=108^\circ$
$GH$	$1$	$288^\circ+216^\circ=504^\circ\equiv144^\circ$

這裡每次先把前一條線段反向，再加上該頂點的有向角。

可以立即看出：

• $BC$ 的方向是 $324^\circ$，$GH$ 的方向是 $144^\circ$，兩者相差 $180^\circ$，而且長度都是 $1$，所以完全抵消；
• $CD$ 的方向是 $288^\circ$，$FG$ 的方向是 $108^\circ$，兩者相差 $180^\circ$，而且長度都是 $\phi$，所以完全抵消；
• $DE$、$EF$ 都與 $AB$ 反向，總長度為 $1+2=3$。

因此

$$\boxed{\overrightarrow{BH}=-3\mathbf e}$$

其中 $\mathbf e$ 是 $AB$ 方向的單位向量。

---

2. 用 $\mathbb Z[\zeta_{10}]$ 筆算

令

$$\zeta=\zeta_{10}=e^{36^\circ i}.$$

上述各段從 $B$ 到 $H$ 的向量為

$$\overrightarrow{BH} = \zeta^{-1} +\phi\zeta^{-2} +\zeta^5 +2\zeta^5 +\phi\zeta^3 +\zeta^4.$$

因為

$$\zeta^5=-1, \qquad \zeta^4=-\zeta^{-1}, \qquad \zeta^3=-\zeta^{-2},$$

所以

$$\begin{aligned} \overrightarrow{BH} &= \left(\zeta^{-1}+\zeta^4\right) +\phi\left(\zeta^{-2}+\zeta^3\right) +3\zeta^5\\ &=0+0-3\\ &=-3. \end{aligned}$$

故若 $AB=L$，取

$$A=(0,0),\qquad B=(L,0),$$

便有

$$\boxed{H=(L-3,0)}.$$

---

情況一：$AB=2\phi$

此時

$$A=(0,0),\qquad B=(2\phi,0),\qquad H=(2\phi-3,0).$$

叉乘

$$(B-A)\times(H-A) = (2\phi,0)\times(2\phi-3,0) =0.$$

因此 $A,B,H$ 共線。

點乘

$$\begin{aligned} (H-A)\cdot(H-B) &=(2\phi-3,0)\cdot(-3,0)\\ &=-3(2\phi-3)\\ &=3(3-2\phi). \end{aligned}$$

由

$$2\phi=1+\sqrt5>3$$

可知

$$3(3-2\phi)<0.$$

因此

$$\boxed{ (B-A)\times(H-A)=0, \qquad (H-A)\cdot(H-B)<0 }$$

所以

$$\boxed{H\text{ 嚴格落在 }A,B\text{ 之間。}}$$

具體來說，

$$AH=2\phi-3=\sqrt5-2>0, \qquad HB=3.$$

位置順序是

$$A\;-\;H\;-\;B.$$

---

情況二：把 $AB$ 改成 $\phi^2$

此時只有 $AB$ 的長度改變，從 $B$ 到 $H$ 的合向量仍然是 $-3$。因此

$$A=(0,0),\qquad B=(\phi^2,0),\qquad H=(\phi^2-3,0).$$

叉乘

$$(B-A)\times(H-A) = (\phi^2,0)\times(\phi^2-3,0) =0.$$

所以 $A,B,H$ 仍然共線。

點乘

$$\begin{aligned} (H-A)\cdot(H-B) &=(\phi^2-3,0)\cdot(-3,0)\\ &=-3(\phi^2-3)\\ &=3(3-\phi^2). \end{aligned}$$

由

$$\phi^2=\phi+1<3$$

可知

$$3(3-\phi^2)>0.$$

因此雖然叉乘為零，但點乘為正：

$$\boxed{ (B-A)\times(H-A)=0, \qquad (H-A)\cdot(H-B)>0. }$$

所以

$$\boxed{H\text{ 不在線段 }AB\text{ 上。}}$$

此時

$$\phi^2-3=\phi-2<0,$$

故 $H$ 位於 $A$ 的外側，位置順序是

$$H\;-\;A\;-\;B.$$

而且

$$AH=3-\phi^2=2-\phi=\frac1{\phi^2}.$$

---

總結公式

這個例子對任意 $AB=L>0$ 都有

$$H-A=(L-3)\mathbf e, \qquad H-B=-3\mathbf e.$$

因而

$$(B-A)\times(H-A)=0$$

且

$$(H-A)\cdot(H-B)=3(3-L).$$

所以

$$\boxed{ H\in\mathring{\overline{AB}} \iff 3(3-L)<0 \iff L>3. }$$

因此：

$$\boxed{ \begin{array}{c|c|c} AB\text{ 長度} & \text{點乘符號} & \text{結論}\\ \hline 2\phi>3 & <0 & H\text{ 在 }AB\text{ 內部}\\ \phi^2<3 & >0 & H\text{ 越過 }A，不在AB\text{ 上} \end{array}}$$

沿用前面的角度 convention：令 $AB$ 向右，所有頂點角都沿同一方向量。若全部反向量，圖形只會上下鏡射，結論不變。

設

$$\zeta=e^{36^\circ i},\qquad \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},$$

並取

$$A=0,\qquad B=L>0.$$

判斷 $H$ 是否位於不含端點的線段 $AB$ 上，需要同時滿足

$$\boxed{ (B-A)\times(H-A)=0, \qquad (H-A)\cdot(H-B)<0. }$$

---

1. 修改後各線段的方向

修改為：

• $FG$ 長度由 $\phi$ 改為 $1$；
• $\angle FGH$ 由 $216^\circ$ 改為 $180^\circ$。

各線段方向為：

線段	長度	方向
$AB$	$L$	$0^\circ$
$BC$	$1$	$324^\circ$
$CD$	$\phi$	$288^\circ$
$DE$	$1$	$180^\circ$
$EF$	$2$	$180^\circ$
$FG$	$1$	$108^\circ$
$GH$	$1$	$108^\circ$

因為 $\angle FGH=180^\circ$，所以 $FG$ 與 $GH$ 同向；兩者的方向都是 $108^\circ$。

因此

$$\begin{aligned} \overrightarrow{BH} &=\zeta^{-1}+\phi\zeta^{-2} +\zeta^5+2\zeta^5+\zeta^3+\zeta^3\\ &=\zeta^{-1}+\phi\zeta^{-2}-3+2\zeta^3. \end{aligned}$$

利用

$$\zeta^5=-1,\qquad \zeta^3=-\zeta^{-2},$$

得到

$$\boxed{ \overrightarrow{BH} = -3+\zeta^{-1}+(\phi-2)\zeta^{-2}. }$$

---

2. 分解成水平、垂直分量

利用

$$\cos36^\circ=\frac{\phi}{2},\qquad \cos72^\circ=\frac{\phi-1}{2},\qquad \sin72^\circ=\phi\sin36^\circ,$$

可算出水平分量：

$$\begin{aligned} \operatorname{Re}(\overrightarrow{BH}) &=-3+\cos36^\circ+(\phi-2)\cos72^\circ\\ &=-3+\frac{\phi}{2} +\frac{(\phi-2)(\phi-1)}2\\ &=-\frac{3+\phi}{2}. \end{aligned}$$

垂直分量：

$$\begin{aligned} \operatorname{Im}(\overrightarrow{BH}) &=-\sin36^\circ-(\phi-2)\sin72^\circ\\ &=-\sin36^\circ-(\phi-2)\phi\sin36^\circ\\ &=(\phi-2)\sin36^\circ. \end{aligned}$$

所以

$$\boxed{ \overrightarrow{BH} = \left( -\frac{3+\phi}{2}, \;(\phi-2)\sin36^\circ \right). }$$

因而

$$\boxed{ H-A= \left( L-\frac{3+\phi}{2}, \;(\phi-2)\sin36^\circ \right). }$$

注意到

$$\phi-2\ne0,$$

所以 $H$ 已經不再與 $A,B$ 共線。

---

3. 叉乘判定

因為

$$B-A=(L,0),$$

所以

$$\begin{aligned} (B-A)\times(H-A) &= (L,0)\times \left( L-\frac{3+\phi}{2}, (\phi-2)\sin36^\circ \right)\\ &= L(\phi-2)\sin36^\circ. \end{aligned}$$

因此一般公式為

$$\boxed{ (B-A)\times(H-A) = L(\phi-2)\sin36^\circ\ne0. }$$

只要 $L>0$，這個叉乘就不會等於零。因此，無論 $AB$ 是 $2\phi$ 還是 $\phi^2$，$H$ 都不在直線 $AB$ 上，更不在線段 $AB$ 上。

---

4. 點乘判定

雖然叉乘不為零已經足夠得出結論，但仍可計算點乘。

令

$$h=\overrightarrow{BH}.$$

先算

$$|h|^2=7-\phi.$$

又因為 $h$ 的水平分量是 $-(3+\phi)/2$，故

$$\begin{aligned} (H-A)\cdot(H-B) &=(L+h)\cdot h\\ &=|h|^2+L\operatorname{Re}(h)\\ &=7-\phi-\frac{L(3+\phi)}2. \end{aligned}$$

所以

$$\boxed{ (H-A)\cdot(H-B) = 7-\phi-\frac{L(3+\phi)}2. }$$

---

情況一：$AB=2\phi$

取 $L=2\phi$。

叉乘

$$\begin{aligned} (B-A)\times(H-A) &=2\phi(\phi-2)\sin36^\circ\\ &=2(1-\phi)\sin36^\circ\\ &\ne0. \end{aligned}$$

點乘

$$\begin{aligned} (H-A)\cdot(H-B) &=7-\phi-\phi(3+\phi)\\ &=6-5\phi\\ &<0. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{ \begin{aligned} (B-A)\times(H-A)&\ne0,\\ (H-A)\cdot(H-B)&<0. \end{aligned}}$$

雖然點乘小於零，但叉乘不為零，所以

$$\boxed{AB=2\phi\text{ 時，}H\text{ 不在線段 }AB\text{ 上。}}$$

此時

$$H= \left( \frac{3(\phi-1)}2, (\phi-2)\sin36^\circ \right).$$

也就是 $H$ 的水平投影落在 $A,B$ 之間，但 $H$ 位於 $AB$ 的下方。

---

情況二：$AB=\phi^2$

取 $L=\phi^2$。

叉乘

利用

$$\phi^2(\phi-2)=-1,$$

得到

$$\boxed{ (B-A)\times(H-A) = -\sin36^\circ\ne0. }$$

點乘

$$\begin{aligned} (H-A)\cdot(H-B) &=7-\phi-\frac{\phi^2(3+\phi)}2\\ &=\frac{10-7\phi}{2}\\ &<0. \end{aligned}$$

所以

$$\boxed{ \begin{aligned} (B-A)\times(H-A)&\ne0,\\ (H-A)\cdot(H-B)&<0. \end{aligned}}$$

因此

$$\boxed{AB=\phi^2\text{ 時，}H\text{ 也不在線段 }AB\text{ 上。}}$$

此時

$$H= \left( \frac{\phi-1}{2}, (\phi-2)\sin36^\circ \right).$$

同樣，$H$ 的水平投影在 $A,B$ 之間，但 $H$ 不在直線 $AB$ 上。

---

結論

$AB$ 長度	叉乘	點乘	$H$ 是否在開線段 $AB$ 上
$2\phi$	$2(1-\phi)\sin36^\circ\ne0$	$6-5\phi<0$	否
$\phi^2$	$-\sin36^\circ\ne0$	$\dfrac{10-7\phi}{2}<0$	否

因此修改 $FG$ 和 $\angle FGH$ 後，

$$\boxed{ \text{無論 }AB=2\phi\text{ 或 }AB=\phi^2， \quad H\notin\overline{AB}. }$$

這也說明：只有在叉乘先等於零、確定三點共線之後，點乘小於零才能表示 $H$ 嚴格位於 $A,B$ 之間。

「上方或下方」由叉乘的正負號判定，但要先約定：

1. 採用通常的直角坐標：$x$ 軸向右、$y$ 軸向上；
2. $AB$ 從 $A$ 指向 $B$，本例令 $AB$ 水平向右。

設

$$\mathbf u=B-A,\qquad \mathbf v=H-A.$$

二維叉乘為

$$\mathbf u\times\mathbf v =(B_x-A_x)(H_y-A_y)-(B_y-A_y)(H_x-A_x).$$

其符號判定如下：

$$\boxed{ \begin{array}{c|c} (B-A)\times(H-A)&H\text{ 相對於有向直線 }A\to B\\ \hline >0&左側\\ =0&直線上\\ <0&右側 \end{array}}$$

當 $AB$ 水平向右時，「左側」就是上方，「右側」就是下方，因此

$$\boxed{ \begin{array}{c|c} (B-A)\times(H-A)&H\text{ 相對於 }AB\\ \hline >0&上方\\ =0&在直線AB上\\ <0&下方 \end{array}}$$

套用到本例

前面得到

$$B-A=(L,0)$$

以及

$$H-A= \left( L-\frac{3+\phi}{2}, (\phi-2)\sin36^\circ \right).$$

所以

$$\begin{aligned} (B-A)\times(H-A) &=(L,0)\times \left( L-\frac{3+\phi}{2}, (\phi-2)\sin36^\circ \right)\\ &=L(\phi-2)\sin36^\circ. \end{aligned}$$

由於

$$L>0,\qquad \phi-2<0,\qquad \sin36^\circ>0,$$

故

$$\boxed{(B-A)\times(H-A)<0.}$$

因此，在 $AB$ 由左向右且 $y$ 軸向上的坐標設定下，

$$\boxed{H\text{ 位於有向直線 }A\to B\text{ 的右側，也就是 }AB\text{ 的下方。}}$$

這也可以直接由 $H$ 的縱坐標看出：

$$H_y=(\phi-2)\sin36^\circ<0.$$

---

兩種 $AB$ 長度

若 $AB=2\phi$，則

$$(B-A)\times(H-A) =2(1-\phi)\sin36^\circ<0,$$

所以 $H$ 在下方。

若 $AB=\phi^2$，則

$$(B-A)\times(H-A) =-\sin36^\circ<0,$$

所以 $H$ 也在下方。

要注意：如果將題目中的所有有向角改為相反方向，整個圖形會關於 $AB$ 鏡射，叉乘符號也會相反，此時 $H$ 就會位於上方。換言之，「上方／下方」取決於角度的旋轉方向約定；但「不在 $AB$ 上」的結論不變。

可以這樣理解，但嚴格地說，不是「叉乘的實部和虛部」，而是把二維向量視為複數後，計算一個共軛乘積；它的實部是點乘，虛部是叉乘。

令

$$u=B-A,\qquad v=H-A,$$

並把 $u,v$ 視為複數。定義

$$\boxed{Z=\overline{u}\,v=\overline{(B-A)}(H-A).}$$

則

$$\boxed{ \operatorname{Re}Z=u\cdot v, \qquad \operatorname{Im}Z=u\times v. }$$

因此可以同時判定「沿著 $AB$ 的投影位置」和「位於哪一側」。

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1. 實部判定垂足是否落在 $AB$ 上

$H$ 在有向直線 $A\to B$ 上的投影參數為

$$t=\frac{u\cdot v}{|u|^2} =\frac{\operatorname{Re}Z}{|B-A|^2}.$$

其垂足為

$$P=A+t(B-A).$$

因此：

$$\boxed{ \begin{array}{c|c} \operatorname{Re}Z & H\text{ 的垂足位置}\\ \hline <0&A\text{ 的外側}\\ =0&垂足為A\\ 0<\operatorname{Re}Z<|B-A|^2&A,B\text{ 之間}\\ =|B-A|^2&垂足為B\\ >|B-A|^2&B\text{ 的外側} \end{array}}$$

所以若要求垂足嚴格落在開線段 $AB$ 上：

$$\boxed{ 0<\operatorname{Re}\!\left(\overline{(B-A)}(H-A)\right) <|B-A|^2. }$$

若包含端點，則改成

$$\boxed{ 0\le\operatorname{Re}\!\left(\overline{(B-A)}(H-A)\right) \le|B-A|^2. }$$

要注意，這只表示 $H$ 的正交投影在 $AB$ 上，不表示 $H$ 本身在 $AB$ 上。

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2. 虛部判定上方或下方

因為

$$\operatorname{Im}Z =(B-A)\times(H-A),$$

所以

$$\boxed{ \begin{array}{c|c} \operatorname{Im}Z&H\text{ 相對於有向直線 }A\to B\\ \hline >0&左側\\ =0&直線AB上\\ <0&右側 \end{array}}$$

如果 $AB$ 水平向右，則左側就是上方、右側就是下方：

$$\boxed{ \begin{array}{c|c} \operatorname{Im}Z&H\text{ 相對於 }AB\\ \hline >0&上方\\ =0&在直線AB上\\ <0&下方 \end{array}}$$

一般方向下，最好說「有向直線 $A\to B$ 的左側或右側」，因為「上方或下方」只適合水平的 $AB$。

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3. 合併判定 $H$ 是否真的在開線段 $AB$ 上

$H$ 本身嚴格位於 $A,B$ 之間，必須同時滿足：

1. 虛部為零，即 $H$ 與 $A,B$ 共線；
2. 實部嚴格介於 $0$ 與 $|B-A|^2$ 之間。

因此

$$\boxed{ H\in\mathring{\overline{AB}} \iff \begin{cases} \operatorname{Im}\!\left(\overline{(B-A)}(H-A)\right)=0,\\[1mm] 0< \operatorname{Re}\!\left(\overline{(B-A)}(H-A)\right) <|B-A|^2. \end{cases}}$$

這與先前的「叉乘加點乘」判準等價：

$$\boxed{ H\in\mathring{\overline{AB}} \iff \begin{cases} (B-A)\times(H-A)=0,\\ (H-A)\cdot(H-B)<0. \end{cases}}$$

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4. 套用到前面的例子

前面得到

$$B-A=L,$$

以及

$$H-A= L-\frac{3+\phi}{2} +i(\phi-2)\sin36^\circ.$$

因為 $B-A=L$ 是正實數，

$$\begin{aligned} Z &=\overline{(B-A)}(H-A)\\ &=L\left( L-\frac{3+\phi}{2} +i(\phi-2)\sin36^\circ \right). \end{aligned}$$

所以

$$\operatorname{Re}Z = L\left(L-\frac{3+\phi}{2}\right),$$ $$\operatorname{Im}Z = L(\phi-2)\sin36^\circ.$$

對 $L=2\phi$ 或 $L=\phi^2$，都有

$$0<\operatorname{Re}Z<L^2,$$

故 $H$ 的垂足落在 $A,B$ 之間；同時

$$\operatorname{Im}Z<0,$$

故在約定 $AB$ 向右的情況下，$H$ 位於 $AB$ 下方。

總結為：

$$\boxed{ \begin{aligned} \operatorname{Re}\!\left(\overline{(B-A)}(H-A)\right) &\text{：判定沿 }AB\text{ 方向的投影位置},\\ \operatorname{Im}\!\left(\overline{(B-A)}(H-A)\right) &\text{：判定共線以及位於左側或右側}. \end{aligned}}$$

所以你的想法基本正確，只需將「叉乘的實部、虛部」改稱為「共軛乘積的實部、虛部」。